从内涵出发丰富学生对数学概念的认知:认知

从内涵出发丰富学生对数学概念的认知

一、教材解读 实验教材中，《对称》编排在二年级上册第五单元《观 察物体》的第二课时、第三课时，包括轴对称和镜面对称。

“做一做”中明确要求画出轴对称图形的对称轴，练习题中 还要求按对称轴画出轴对称图形的另一半。新教材中，根据 一线教师的反馈，去掉了镜面对称，将轴对称单独拿出来编 排在二下《图形的运动（一）》中，同时将“画对称轴”和 “按对称轴画出轴对称图形的另一半”这两点后移到了四年 级下册《图形的运动（二）》中。

实验教材二下第三单元《图形与变换》包括“锐角和钝 角”“平移和旋转”以及“剪一剪”等内容。新教材将“锐 角和钝角”整合到二上《角的初步认识》中，与直角一起编 排。将二上的“对称”后移到二下，和“平移”“旋转”一 起编排。知识的呈现更加合理化、系统化，便于学生学习和 系统理解。对比实验教材，新教材指向性更为明确和清晰。

二、备课思考与课堂呈现 课标（2011年版）中关于图形的运动学段要求 人教版教材中关于图形的运动的教学目标和内容编排 运动是世间万物的特征，是物质存在的基本形式。在现 实生活中，我们会遇到很多物体的运动与变化。例如，将一 块三角板移动位置，把一张照片放大若干倍，等等。在这个 过程中，物体的某些性质发生了变化，而某些性质却保留了 下来。例如，移动三角板，三角板的位置变了，形状、大小 都不变；
放大照片，照片中物体的大小变了，形状不变。从 数学的角度看，物体的运动与变化，可以抽象为图形的变换。

几何图形是点的集合，所以几何变换就是两个图形上点之间 的一一对应，即点变换。

对称是一种最基本的图形变换，包括轴对称（也叫反转 对称）、中心对称、平移对称、旋转对称和镜面对称等多种 形式。在自然界和日常生活中具有对称性质的事物很多，学 生对于对称现象并不很陌生。基于对人教版有关“图形的运动”新旧教材、纵向教材 编排的研究和整体、系统的学习把握，以及对《教师教学用 书》的认真研读，感到“对称”这一知识在整个小学“图形 与运动”结构中的重要地位和育人价值。“对称”是学生接 触的第一种图形的运动，而儿童的年龄特点却决定他们在理 解“对称”的运动性上远不及理解“平移”和“旋转”的运 动来得直观。当然，如果从“图形的变换”角度来理解“对 称”，则要容易得多。因此，备课时，笔者主要思考了这样 几个问题：
1. 对相关概念的理解。在本课中，至少有这样几个概 念需要学生初步感知和理解：对称（基于单个物体和图形的）、 对称轴、轴对称图形。在此基础上，可适当延伸“轴对称” 的概念。对于二年级下学期的孩子来说，“对称”的生活经 验是有的，生活中的建筑、艺术、生物、饮食等，到处都能 看到和感受到对称现象，因此孩子们在课堂上说到了裙子、 披萨、课本等。孩子们的问题在于，他们不能从这些对称表 象中抽象出对称的特征，他们的年龄特征决定他们在感知对 称上还处于“只可意会不可言传”的阶段。但是，如前所述， “对称”有很多种，二年级下册“轴对称图形”是最基本的 一种。如果不给学生适当渗透，很容易使孩子形成思维定 势：对称就是对折后能完全重合的，对称图形就是左右对称 的（轴对称图形旋转一定角度后就容易对他们产生思维干扰），等等。课堂实践后，总感觉自己在这一块还讲得不够 清晰，让学生把“对称”和“轴对称”混为一谈了，最典型 的例子有两个：一个是学生对平行四边形的认识产生了歧义 （反思：这里也有没有让学生动手操作的原因），一个是“做 一做”中香港特区区徽紫荆花的图案（这其实是一种旋转对 称，但不是中心对称）。因此，我们在本节课的学习中，可 以把视野放宽些，眼光放高些，从上往下来考量，尽量层次 分明地、有步骤地给学生渗透“对称”“轴对称”这样的概 念。

2. 从表象走向抽象。为了弥补学生对“对称”概念理 解的不足，在备课和课堂教学中，笔者坚定地选择了学生感 知众多的对称现象和对称图形：蜻蜓、树叶、荆州古城九龙 桥、剪纸、国旗……并配以感性的描述语言，让学生在感知 对称现象的同时感受到生活中对称的美。课堂实践表明，让 学生感受对称现象和感受对称的美做到了和谐统一，实效较 好。当然，在此过程中，笔者注意了“生活中的对称现象” 和“图形中的对称图形”的用词。

3. 教学要求的把握。前面学段要求中清楚表明，新教 材二年级下册是初步感知“轴对称”和“轴对称图形”，不 再教学轴对称的特征，不再要求画出对称轴，也不再要求在 方格纸上根据轴对称的一半画出另一半。这些，都后移到了四年级下册《图形的运动（二）》中。但是，不作为正式的 教学要求并不表示就完全不需要学生去初步感受。因此，在 课堂教学中，笔者设计了3个小细节让学生来感受这三点：
①用折一折让学生感受轴对称的特征；
②用手比划对称轴让 学生感受对称轴的位置和条数；
③根据轴对称图形的一半以 及给出的三个选项，在脑海中想象正确的图形并做出选择。

另外，还有一些其他的小教学要求也需要教师把握，如，笔 者在课堂中回避了数字的对称性，为什么？因为即使对称的 数字也是基于它的字体，一个数字并不是所有字体下都是对 称的。因此，在呈现对称的汉字时，笔者也特别说明“这种 字体的这个字是对称的”。

三、课后研讨 课后，团队伙伴们针对笔者的教学设计和课堂呈现，发 表了各自的看法，提出了很多很好的建议，主要有四点：
1. 关于操作。本课有些地方应该让学生动手操作，例 如，让学生体验学过的平面图形中，哪些是轴对称图形，哪 些不是，可以让学生动手对折一下长方形纸、正方形纸、三 角形纸、平行四边形纸以及圆形纸，印象会更为深刻，感知 更为直观。2.关于语言。“对称”是非常规范和严谨的数学语言， 课堂实践表明，二年级的学生对此有自己的语言描述。在小 学阶段，儿童的语言和数学语言之间是有距离的。作为教师， 应该在儿童的感性语言和数学的理性、规范语言之间架起一 座桥梁，促进儿童对数学概念的理解和感知。

3.关于拓展。可以在讲完轴对称图形的对称后，适当 拓展一下两个相同的物体（或图形）关于对称轴的轴对称现 象，开阔学生的视野。

四、课后的再思考 课后，针对本节课的呈现和伙伴们的建议，笔者再一次 进行了备课思考。先后查阅了课标、初中教材，上网查询了 相关资料。

1.对称知识编排的分与合 下图是初中九年级《数学》中学习“旋转”一章时的知 识结构图，可以让我们对“图形的运动”在义务教育阶段的 分布及其作用有一个更为清晰的认识。

2. 关于对称百度百科上对于“对称”是这样梳理的。

对称：指物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋 转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复 的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫 做它的对称轴。

中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋 转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对 称图形。而这个中心点，叫做中心对称点。

旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定 点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（0°<旋转角 <360°）。常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行 四边形、圆等（注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形）。

人教版小学数学二年级下册《教师教学用书》第84页有 这样的资料：基于以上的分析，到现在，我们是不是可以在脑海里对 “对称”形成一个清晰的框架：对称从大的方面分为反转对 称（轴对称）和旋转对称（中心对称是特殊的旋转对称）；

对称可以是一个图形内部的左右两部分的联系，也可以是两 个图形之间的一种关系。

3. 关于轴对称和轴对称图形 轴对称与轴对称图形是既有联系也有区别的两个概念。

这一点，初中数学教材中介绍得比较清楚，同时也是教师必 须了解和清楚的知识背景和专业储备。

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对 称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个 图形关于这条轴对称。

如下图，可以看成是两只小鸡图关于直线l对称，也可 以看成是一幅图中的两只小鸡关于直线l轴对称。当然，教 学中应顺便打破学生对轴对称的定式思维认知，如右图。

五、二下“轴对称图形”教学建议 到此为止，希望能简要而又清晰地给出二下“轴对称图形”的备课和教学建议：
1.尽量讲清楚“对称”和“轴对称”的不同与联系；

2.重视学生的动手操作；

3.重视生活中的对称现象（可以有轴对称，也可以有中 心对称）的感受和欣赏，帮助学生丰富对称的表象，开阔数 学视野；

4.把握好教学要求，既不超纲，又不能太低估学生的思 维水平和已有经验基础。