形式和实质 [淡化形式,注重实质,发展学生数学素养]

淡化形式 注重实质 发展学生数学素养

一、试卷结构及评析 （一）试卷结构、分值、时间统计及评析 辽宁省各地2015年的中考数学试卷结构较2014年相比， 除葫芦岛市将总分由120分调整为150分，其余地区总体上比 较稳定。目前，全省除阜新试卷总分为100分，答题时间为 100分钟；
朝阳试卷总分为120分之外，其余地区总分都是为 150分，答题时间均为120分钟。从总题数上看，阜新只有18 道题，沈阳、朝阳为25道题，其余地区都是26道题。从题型 应用上看，使用的题型仍然是选择题、填空题、解答题三种 方式，而解答题又包括程序性解答题和非程序性解答题，程 序性解答题包括计算题、解方程（组）与不等式（组）题、 任务性作图题等；
非程序性解答题包括应用题、开放题、信 息迁移题、证明题、说理题、复合题。复合题在选拔性试题 中的比例逐渐加大。从分值设置上看，每个选择题的分值都为3分，其中有8 个城市设置了10道选择题，5个城市设置了8道，阜新设置了 6道；
朝阳市选择题的分值占到了全卷的25%，比例全省最高。

沈阳市的填空题每道题4分，其余地区都是每道题3分，题数 除朝阳、阜新为6道之外，其他地区都为8道。解答题的分值 一般占到了65%左右。

出现这样局面的主要原因是，近几年逐渐稳定的各地试 卷结构，基本上是各地近年来课程改革成果的沉淀，受到当 地师生的认可。

（二）整卷的内容布局及评析 各地试卷的考查内容涉及到了课程标准所要求的全部 领域，较好地体现了义务教育阶段数学教育的基础性、普及 性和发展性。从总体上看，我省绝大多数试卷的内容比例适 当，考查内容的分布基本上做到按各地《考试说明》精细设 计。以满分150分为例，其中“数与代数”约占40%，“空间 与图形”约占40%，“统计与概率”约占15%，“实践与综合 运用”（课题学习）约占5%（体现在探索性试题中，内容分 布在“数与代数”和“空间与图形”之中）。各地在具体操作过程中也存在差异，数与代数的内容比 例总体上呈下降趋势，盘锦在数与代数的内容安排较多，在 49%左右，鞍山、锦州则较少，低于35%；
鞍山、铁岭在图形 与几何部分的内容比例最高，达到了50%，而盘锦、抚顺的 比例最小，只有39%；
锦州、营口在统计与概率部分的内容 比例最高，为19%，而盘锦、大连的比例最低，为11%左右。

从压轴题的数量和分值上看，绝大多数城市只设一道，分值 在10%左右，沈阳有两道代几综合题，分值比例为17%；
大连 有三道代几综合题，分值比例为22%，远远高于其他地区。

由此可以看到个别地区在考查内容选择上与课程标准的内 容安排结构还存在一定的差异，特别是如果这种差异在某地 长期存在，成为当地数学考试的一种特质，就可能会给当地 的教学带来一定的负面影响。

二、题型运用及评析 衡量题型运用是否合理有两个维度：解答所需的思维、 推理、计算的量（简称工作量）与题型对思维、推理、计算 要求的量是否一致；
解答结果与获得解答结果过程的关联程 度的高低（简称过程结果关联度）。依据当前国内学者对试 题研究的主要成果，我们从以下几个维度进行题型分析。

维度一：试题的要求水平这一指标的高低主要反映试题是否聚焦课程标准所要 求的核心内容，指标越高，说明课标对所考查内容的要求越 高。依据课程标准对各知识点要求的表述，将试题的要求水 平分为四级，分别为了解A、理解B、掌握C、运用D，分别赋 值1、2、3、4. A了解：（同类词：知道，初步认识，模仿） 从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；
根据对 象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。可用的行 为动词有：体会，知道，识别，感知等。

B理解：（同类词：认识、会） 描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的 区别和联系。

C掌握：（同类词：能） 在理解的基础上，把对象用于新的情境。

D运用：（同类词：证明、探究、分析、评价、创造）综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问 题。是做数学的过程。

第i个题型的试题平均要求水平（YQi）的计算方法为， （i=1，2，3，4） 其中A、（B、C、D）为第i个题型中了解、（理解、掌 握、运用）的试题数目。

维度二：知识含量水平 知识含量指一个题目中综合知识点的程度，主要反映试 卷的内容覆盖率。指标越高，说明试卷所包含的课标要求的 知识点越多，试卷的内容覆盖率越高。按照试题所含知识点 的数量分为四个等级，即含“一个知识点”“两个知识点” “三个知识点”“四个知识点及以上”，分别赋分1-4分， 计算方法同指标一。

维度三：背景水平 数学素养的一个重要特征就是在各种情境中运用和应 用数学，采用鲍建生研究的分类方法，分为四个层次：最低层次：无任何实际背景，简称“无背景”；

第二层次：与学生个人生活经历相关的背景，简称“个 人生活”；

第三层次：属于职业或者公共常识的背景，简称“公共 常识”；

第四层次：以科学情境为背景，简称“科学背景”。

此维度的指标越高，说明试卷的试题背景越丰富，要求 学生的阅读理解能力越高，计算时分别赋分1-4分，计算方 法同指标一。

维度四：运算步骤 指试题中用到课程标准中第三学段所列出的公式、法则、 模型的个数。指标越高，说明试题对学生的运算能力要求越 高。计算时分为用到一个、两个、三个、四个及以上四个层 次，分别赋分1～4分，计算方法同指标一。

维度五：推理步骤指试题中用到课程标准中第三学段所列出的定理、法则、 性质、定义进行推理的个数。指标越高，说明试题对学生的 推理能力要求越高。计算分为用到一个、两个、三个、四个 及以上四个层次，分别赋分1～4分，计算方法同指标一。

（一）选择题运用及评析 通过比较可以看出，各地的选择题大都选择无背景、知 识点含量在两个左右、能力水平在理解与掌握之间，运算和 推理步骤在两步以内。从背景水平这一指标来看，铁岭、盘 锦试卷选择题的试题背景比较丰富，铁岭的试卷中10道选择 题有5道具有背景，其中有物体图案、运动会比赛成绩、行 程问题等三道个人背景的试题，有一道商品降价的社会生活 背景问题，还有一道以正方形性质作为背景考查概率计算的 科学背景问题。特别是使用了亚洲飞人苏炳添的5次比赛成 绩为背景，考查统计量的应用，使得整个选择题部分的数学 教育价值和应用意识突出出来。

从知识含量水平来看，各地存在比较大的差异，鞍山、 丹东、营口、辽阳、铁岭、朝阳为第一集团，指标值都超过 了2.主要原因是有的试题利用选择题多选项的特点，每个选 项都包含一个知识点，学生需要认真思考每一个选项是否满 足条件。而大连的8道选择题中有7道只有一个知识点，因而含量水平最低。阜新、锦州、沈阳、葫芦岛的含量水平也都 没有超过1.5.选择题作为整个试卷的开始部分，综合性过强， 会对考生的心理产生一定的负面作用，而如果过易，又会失 去这一题型的积极作用，这一点还是应该引起足够的重视。

从要求水平这一指标看，各地差别不大，说明命题者都 关注课标中的核心知识进行考查，个别试卷利用选择题考查 了一些了解层次的试题，用来增加试卷的内容覆盖率。

从运算水平和推理水平来看，各地的差异性比较大，鞍 山、营口、朝阳的要求水平最高，指标值之和超过了3，大 连、阜新的最低，指标值之和不足1.对于选择题的题型，如 何发挥其题型功能，还需命题人员认真思考。

从整卷选择题的设计来看，各地试卷各有千秋。

例1.图中几何体的左视图是（ ） 分析：课标中要求能判断简单物体的视图，本题选择考 查左视图，选项A为主视图，选项B为左视图，选项C、D为易 混淆的图形.如果选项D为俯视图，则可以更全面地考查三视 图和学生的辨析能力。总体上本题给出的几何体立体感强， 难易适中，考查目标突出，效果较高。例2.直线y=x+b（b>0）与直线y=kx（k<0）的交点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：本题只要画出函数图像的草图，无需计算就可以 解决问题。试题包含的知识点多，对学生思维的全面性、敏 捷性要求较高，很好地发挥了选择题的功能。

例3.学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年一班学 生捐款情况如下表：
则学生捐款金额的中位数是（ ） A.13 B.12 C.10 D.20 分析：本题试题背景贴近学生，要求学生对中位数的概 念有清晰的认识，学生要清楚地知道要求的是50个捐款金额 的中位数，如果概念不清，就会求某一行数据的中位数，因 此选项中应有15和12.5，再选择众数做选项，更能增加试题的效度。

（二）填空题运用及评析 从背景水平上看，朝阳试卷水平最高，6道试题中有4道 含有背景，这与其选择题的设计风格完全相反；
从知识点含 量上看，沈阳试卷水平最高，有两道题含有4个以上的知识 点；
要求水平各地差异不大；
营口、盘锦试卷填空题的计算 水平最高；
抚顺、营口试卷推理水平要求最高。

例4.在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球， 每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为， 那么袋中的黑球有______个. 分析：本题考查怎样求等可能事件的概率，解题的关键 是理解题意，找准关系式.题目叙述简洁明了，考查目标明 确，答案统一，效度很高. 例5.如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水 杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水 杯后，继续注水.小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s） 之间的关系满足图2中的图象，则至少需要______s能把小水 杯注满水.分析：本题主要考查学生对函数图像的理解，由图象可 知：注水前，小水杯中有水1cm；
2s时，小水杯中有水5cm， 求何时小水杯中有水11cm.用待定系数法求一次函数的解析 式即可解决问题.此题的思维过程不是很复杂，比较适合采 用填空题的方式. 当然，并不是说填空题只能用来考查简单题，下面的试 题就很好地实现了区分度的效果。

例6.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA 边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在 边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使 A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，….依次规律继续下去，则正 方形AnBnCnDn的面积为______. 分析：此题属于规律探究题，考生首先在Rt△A1BB1中， 由勾股定理可求得正方形A1B1C1D1的面积，，即正方形 A1B1C1D1的面积=；
然后再在Rt△A2B1B2中，由勾股定理求 得正方形A2B2C2D2的面积，；
即正方形A2B2C2D2的面积=， 在完成计算的过程中，就可以发现规律，可得出结论，正方 形AnBnCnDn的面积=.（三）解答题运用及评析 各地试卷的解答题基本上有两种形式，一是直接考查课 程标准要求的基本数学能力是否达到标准，如是否能正确地 进行简单的分式的加、减、乘、除混合运算；
是否能根据具 体问题中的数量关系，应用方程模型、不等式模型、函数模 型等数学模型解决实际问题；
是否具有一定的推理能力等等。

这类解答题一般具有程序性解答题的特点，属于基本问题。

还有一类就是较复杂的解答题，一般采用多问设计，并且这 些问题是递进的，逻辑上存在层次关系，考生需要从基本问 题出发，经过一步步的分析、探索、发展，综合运用类比、 归纳、推理等多种数学思想和数形结合、转化等多种方法， 才能解决问题。

各地试卷在解答题部分重视“双基”，基本的、核心 的数学知识与能力得到充分的关注。分式的化简求值、统计 图表的分析与应用、基本的几何证明、图形变换、方程（组）、 不等式、函数模型的实际应用圆中的计算与证明以及综合题， 成为解答题的考查主体。

例7.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是 A（-5，1），B（-2，3），线段CD的两个端点是C（-5，-1）， D（-2，-3）. （1）线段AB与线段CD关于直线对称，则对称轴是 ____________；
（2）平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐 标为（1，2），画出平移后的线段A1B1；
并写出点B1的坐标 为____________. 分析：本题通过坐标网格将作图题与填空题很好地结合 起来，呈现方式比较自然，全面考查了学生对轴对称变换、 平移变换和图形坐标的认识情况，很好地考查学生利用数形 结合思想解决问题的能力。

例8.育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动， 需要选拔活动主持人.经过全校学生投票推荐，有2名男生和 1名女生被推荐为候选主持人. （1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔出1 名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生与 选出的主持人是女生的可能性相同.你同意他的说法吗？为 什么？ （2）如果从3名候选主持人中随机选拔出2名主持人， 请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生 和1名女生的概率. 分析：本题以发生在学生身边的选拔主持人活动为背景， 直接设问考查学生对随机事件发生等可能性的理解，问题聚 焦概率的基本问题，与传统概率题相比有突破，避免了考生 盲目地模仿，对教学有很好的导向作用。问题2则聚焦利用 列举法求等可能事件的概率，符合课程标准的要求，并且两 问之间实现了合理的过度与递进，试题整体上具有很好地效度和信度。

例9.如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的 交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与 点C、D不重合）. （1）如图①，当α=90°时，DE、DF、AD之间满足的数 量关系是______；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120° 的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为 DE+DF=AD，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与 射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程 中，DE、DF、AD之间满足的数量关系.直接写出结论，不用 加以证明. 分析：本题以四边形和旋转为背景，综合考查学生的探 究意识和推理能力，很好地体现了课标中对“掌握三角形、 四边形基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等基本变换 的性质”的要求。四边形由正方形入手，逐步发展到菱形；

旋转对象∠QPN的大小从90°这一特殊角度开始，发展到 60°的情况；
研究对象始终是线段DE、DF、AD之间满足的数 量关系。整个研究过程充分体现了从特殊到一般、类比推理 和运动变化的数学特点，问题设计由浅入深，设问方式有猜 想，有证明，为不同水平的学生搭建了各个层次的平台，试题有很好的效度和区分度。

三、检测点结构特征及评析 各地试卷的检测点相对比较集中，考查方式也有一定的 相似性。对一些核心考点，如尺规作图，由于操作方面的原 因，在中考中不易考查。对一些基础性的考点，如有理数的 计算、线段、角、点线面等没有单设题目。对于图形的相似 和概率，各地的理解有所不同。

（一）“概率”的考法分析 考法二：考查对简单随机事件概率的理解 例10：小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地 停留在某块方砖上，那么小球停留在黑色区域的概率是 _______. 分析：以几何图形的性质做试题背景对考生来说有一定 难度，一些学生会因为对几何图形的性质没有掌握而影响概 率的求解，考查的关键点是几何而不是概率。另外，一些试 卷提供的事件不属于随机事件，对学生的概率学习有一定的 误导。

考法四：考查用频率估计概率的思想 例11.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只 有颜色不同的小球，其中红色小球有4个，黑、白色小球的 数目相同，小明从布袋右随机摸出一球，记下颜色放回布袋 中，搅匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实 验后，小明发现其中摸出红球频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有______个. 分析：注意使用这种方法的必要性，一般用于用列举法 求不出的随机事件或需要大量实验的随机事件。

总之，由于概率试题的命制需要一定水平的专业知识， 这对于命题人员是个挑战，既不能因为题不好出就不出了， 也不能只采用成题，造成学生的思维定势，误导对概率的理 解。

（二）“圆”的考法分析 考法二：与圆有关的计算应突出圆的性质 例12.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形， 连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即 损矩形外接圆的直径. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱 形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠ DBC=60°，∠ACB=15°，BD=，则菱形ACEF的面积为______. 此题是一个阅读型的填空题，立意很好，但题目无论是 文字叙述，还是所给的图形，四边形是主要的关注对象，如 果学生对“外接圆的直径”关注不够，在图形中画不出外接 圆，很难想到这是在考查圆的知识，也就直接影响到试题的 测试目标的实现。

考法三：利用解答题应注意难度控制 例13.如图，点P是圆O外一点，PA切圆O于点A，AB是圆O 的直径，连接OP，过点B作BC//OP交圆O于点C，连接AC交OP于点D。